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《高等代數》考試大綱

一、考試的性質

高等代數是大學數學系本科學生的最基本課程之一，也是大多數理工科專業學生的重要基礎課程。為幫助考生明確考試范圍和有關要求，特制訂出本考試大綱。

本考試大綱主要根據北京林業大學數學與應用數學本科《高等代數》教學大綱編制而成，適用于報考北京林業大學數學學科各專業（基礎數學、概率論與數理統計、計算數學、應用數學）碩士學位研究生的考生。

二、考試內容和基本要求

1.多項式

（1）多項式及其運算

（2）整除性理論

（3）最大公因式

（4）因式分解定理

（5）重因式

（6）復系數與實系數多項式的因式分解

（7）有理系數多項式

要求：理解數域上一元多項式的概念、多項式整除的概念和性質、最大公因式的概念和性質。掌握多項式的加法和乘法，會作帶余除法，會求最大公因式；了解多項式互素、不可約多項式、多項式的導數及重因式分解的概念。理解因式分解唯一性定理，會判別重因式；了解多項式函數和多項式根的概念，會求有理系數多項式的有理根。

2．行列式

（1）n階行列式的定義

（2）行列式的性質

（3）列式按行(列)展開公式

（4）行列式的計算

（5）矩陣的初等變換，階梯形矩陣和行簡化階梯形矩陣

（6）克萊姆法則

要求：理解n階行列式的概念與性質，掌握矩陣的初等變換；掌握行列式的計算，會運用行列式的性質，通過降階法和消去法及其綜合使用去計算行列式；熟悉克萊姆法則，會運用它解線性方程組。

3．線性方程組

（1）線性方程組的初等變換

（2）n維向量空間

（3）線性相關性

（4）向量組的極大線性無關組和秩，矩陣的秩

（5）線性方程組的有解判別定理與解的結構

要求：理解消元法和矩陣初等變換的關系，掌握用矩陣初等變換解線性方程組的方法；理解線性相關、線性無關、線性表出的概念及其與線性方程組的關系，會判別向量組是否線形相關；理解向量組的秩和極大線性無關的概念，并會計算；理解矩陣的秩的概念，熟悉用初等變換求矩陣的秩和等價標準形的方法；熟悉線性方程組有解判別定理及其應用。

4．矩陣

（1）矩陣的運算

（2）矩陣的分塊

（3）矩陣的逆

（4）正交矩陣

（5）等價矩陣

（6）初等矩陣與初等交換的關系

要求：理解矩陣可逆與矩陣的概念，掌握矩陣可逆的判別，了解初等矩陣與初等變換的關系。知道對稱矩陣、反對稱矩陣、正交矩陣的概念；掌握矩陣的加法、乘法、數量乘法和轉置運算。掌握用初等變換求逆矩陣的方法，會做矩陣的分塊運算。

5．二次型

（1）二次型及其矩陣表示

（2）化二次型為標準形

（3）復二次型和實二次型的規范形

（4）正定二次型，其它有定二次型

要求：理解二次型及其標準形、規范形的概念，二次型與對稱矩陣的一一對應關系。了解合同的概念及其性質；掌握用初等變換化二次型為標準形的方法；了解正二次型的概念，會判別正定性，知道其它有定二次的概念。

6．線性空間

（1）集合、映射

（2）線性空間的定義和簡單性質

（3）維數、基與坐標

（4）基變換與坐標變換

（5）線性子空間

（6）線性空間的同構

要求：理解集合、映射、單射、滿射的概念和性質；理解線性空間的概念，理解空間中基與維數的概念，理解基組在線性空間理論中的重要作用。掌握基變換與坐標變換的公式及其應用；理解子空間的概念，熟悉子空間判別方法。了解子空間的交與和、子空間的直和的概念，熟悉子空間的和是直和的幾個判別定理。熟悉維數公式；了解線性空間同構的概念，了解數域上任一維線性空間與同構的定理。知道同一數域上兩個有限維線性空間同構的充要條件。

7．線性變換

（1）線性變換的定義和簡單性質

（2）線性變換的運算

（3）線性變換在給定基下的矩陣，矩陣的相似

（4）線性變換的特征值與特征向量

（5）矩陣的對角化

（6）不變子空間，若當標準形

要求：理解線性變換的概念，理解線性變換在給定基下矩陣的概念，理解矩陣的相似、特征值與特征向量的概念，理解線性變換的對角化與矩陣的對角化的意義及其之間的關系，了解線性變換與矩陣的—對應關系；了解特征多項式的概念及哈密頓-凱萊定理，了解線性變換的值域與核的概念，了解不變子空間的概念，知道根子空間的概念，知道最小多項式及其性質，知道若當標準形；掌握線性變換的矩陣表示及其對角化，熟悉同一線性變換在不同基下矩陣之間的關系及其計算方法。

8．歐氏空間

（1）歐式空間的定義與簡單性質

（2）度量矩陣、施密特正交化過程、標準正交基

（3）子空間的正交補

（4）歐氏空間的同構

（5）正交變換、對稱變換與對稱矩陣

（6）最小二乘法

要求：理解歐氏空間、標準正交基、正交變換與正交矩陣的關系。了解度量矩陣、向量的長度與夾角的概念。了解歐氏空間同構的概念和充要條件；掌握求標準正交基的方法；理解對稱變換極其充要條件，理解對稱變換與對稱矩陣的關系，掌握求實對稱矩陣正交相似標準形的方法。了解子空間正交補的概念，知道最小二乘法。

9．雙線性函數

（1）雙線性函數、對偶空間

（2）線性空間上的二次齊次函數

要求：掌握線性函數、對偶空間、對偶基和雙重對偶空間的概念；理解雙線性函數及其度量矩陣的定義；理解對稱雙線性函數的概念，知道對稱雙線性函數的度量矩陣的對角（分塊對角）形式。掌握二次函數的概念。

三、試卷題型

填空題、單項選擇題、計算題、證明題。

四、考試方式及時間考試方式：采用閉卷筆試形式，試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘。

五、主要參考書

《高等代數》（第三版），北京大學數學系幾何與代數教研室代數小組編，王萼芳、石生明修訂，高等教育出版社，2003。