暨南大學數學學科2022年碩士研究生入學考試自命題科目

《數學分析》考試大綱

本《數學分析》考試大綱適用于暨南大學數學學科各專業(基礎數學、計算數學、概率論與數理統計、應用數學、運籌學與控制輪)碩士研究生入學考試。數學分析是大學數學系本科學生的最基本課程之一，也是大多數理工科專業學生的必修基礎課。它的主要內容包括極限與連續、一元函數的微分學、一元函數的積分學、無窮級數、多元函數的微分學與積分學、含參變量積分。要求考生熟悉基本概念、掌握基本定理、有較強的運算能力和綜合分析解決問題能力。

一、考試的基本要求

要求考生比較系統地理解數學分析的基本概念，掌握數學分析的基本理論、基本思想和方法，具有一定的綜合運用所學的知識分析問題和解決問題的能力，以便為以后繼續學習和從事科研奠定堅實的分析基礎。

二、考試內容

1.極限與連續

(1)極限的ε-δ、ε-N定義及其證明;極限的性質及運算、無窮小量的概念及基本性質;

(2)函數的連續性及一致連續性概念，函數的不連續點類型，連續函數的性質的證明及其應用;

(3)上、下極限概念，實數集完備性的基本定理及其應用;

(4)二元函數的極限的定義及性質，重極限與累次極限概念，二元函數的連續性概念及性質;

(5)數列極限的計算，一元與二元函數極限的計算。

2.一元函數的微分學

(1)函數的導數與微分概念及其幾何意義，函數的可導、可微與連續之間的關系;

(2)求函數(包括復合函數及分段函數)的各階導數與微分;

(3)Rolle中值定理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理、Taylor定理及其應用;

(4)用導數研究函數的單調性、極值、最值和凸凹性;

(5)用洛必達法則求不定式極限。

3.一元函數的積分學

(1)不定積分的概念及不定積分的基本公式，換元積分法與分部積分法，求初等函數、有理函數和可化為有理函數的不定積分;

(2)定積分的概念，可積條件與可積函數類;

(3)定積分的性質，微積分學基本定理，定積分的換元積分法和分部積分法，積分第一、二中值定理及其應用;

(4)用定積分計算平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積、平行截面面積已知的立體體積、變力做功和物體的質量;

(5)反常積分的概念及性質，兩類反常積分的比較判別法、阿貝耳判別法和狄

立克雷判別法，兩類反常積分的計算。

4.無窮級數

(1)數項級數斂散性的概念及基本性質;

(2)正項級數收斂的充分必要條件、比較原則、比式判別法、根式判別法與積

分判別法;

(3)一般數項級數絕對收斂與條件收斂的概念及其相互關系，絕對收斂級數的

性質，交錯級數的萊布尼茲判別法，一般數項級數的阿貝耳判別法和狄立

克雷判別法;

(4)函數項級數一致收斂性的概念以及判斷一致收斂性的Weierstrass判別法、

Cauchy判別法、Abel判別法和Dirichlet判別法;

(5)冪級數的收斂半徑、收斂域的求法，冪級數的性質與運算;函數的冪級數

展開及冪級數的和函數的性質與求法;

(6)周期函數的Fourier級數展開及Fourier級數收斂定理。

5.多元函數的微分學與積分學

(1)多元函數的偏導數和全微分的概念、幾何意義與應用，連續、可微與可偏

導之間的關系，多元函數的偏導數(包括高階偏導)與全微分的計算，方

向導數與梯度的定義與計算;

(2)多元函數的無條件極值、中值定理與泰勒公式;

(3)隱函數存在定理及求隱函數的偏導數;

(4)曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線的求法;

(5)重積分、曲線積分和曲面積分的概念與計算;

(6)格林公式、高斯公式和斯托克斯公式及其應用。

6.含參變量積分

(1)含參變量正常積分的概念及性質;

(2)含參變量反常積分一致收斂的概念及其判別法，一致收斂的含參變量反常積分的性質及其應用。

三、考試題型

填空題、單項選擇題、計算題、證明題。

四、考試方法和考試時間

采用閉卷筆試形式，試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘。

五、主要參考教材

數學分析：《數學分析第五版》，上、下冊，華東師范大學數學科學學院編，高等教育出版社，2019