同等學力加試科目：

泛函分析

一、考查目標

泛函分析是數學專業的基礎課。它形成于20世紀30年代，是從變分問題，積分方程和理論物理的研究中發展起來的。它綜合運用函數論，幾何學，現代數學的觀點來研究無限維向量空間上的泛函，算子和極限理論。泛函分析可以看作無限維向量空間的解析幾何及數學分析，是學習現代數學必不可少理論基礎，為學習現代數學，特別是偏微分方程，概率論，計算數學等學科分支提供了強有力的研究方法。

二、試卷結構

1、題型結構

名詞解釋(30分)、簡答題(30分)、證明題(40分)，共計100分。

2、內容結構

度量空間和賦范線性空間(25%)、有界線性算子和連續線性泛函(15%)、內積空間和希爾伯特(Hilbert)空間(25%)、巴拿赫空間中的基本定理(20%)、線性算子的譜(15%)。

三、考試內容和要求

1、度量空間和賦范線性空間

度量空間定義及例子，度量空間中的極限、稠密集、可分空間，連續映射，完備度量空間，壓縮映射原理及其應用，賦范線性空間和巴拿赫空間定義與例子。

2、有界線性算子和連續線性泛函

有界線性算子和連續線性泛函的定義與例子;有界線性算子空間和共軛空間的定義與例子。

3、內積空間和希爾伯特(Hilbert)空間

內積空間的定義與例子，投影定理，希爾伯特空間中的規范正交系，希爾伯特空間上的連續線性泛函，自伴算子、酉算子和正常算子。

4、巴拿赫空間中的基本定理

泛函延拓定理及其應用，C[a，b]的共軛空間，共軛算子，綱定理和一致有界性定理，強收斂、弱收斂和一致收斂的定義及例子，逆算子定理，閉圖像定理

5、線性算子的譜

譜的概念及例子，有界線性算子譜的基本性質，緊集和全連續算子的譜，自伴全連續算子的譜論。

四、推薦書目：

1、程其襄，張奠宙，魏國強等編著，《實變函數與泛函分析基礎，第三版》，高等教育出版社，2010.

2、汪林編著，《泛函分析中的反例》,高等教育出版社，2014.