集美大學2021年碩士研究生入學考試初試自命題考試大綱

考試科目代碼：[622]

考試科目名稱：數學分析

一、考核目標

(一)考查考生對數學分析的基本概念、基本理論、基本方法和基本計算的理解和掌握程度。

(二)考查考生的基本計算能力，邏輯推理能力，抽象思維能力，分析和解決實際問題的綜合能力。

二、試卷結構

(一)考試時間：180分鐘，滿分：150分。

(二)題型結構

1、計算題：6小題，每小題12分，共72分。

2、討論題：2小題。每小題15分，共30分。

3、證明題：4小題，每小題12分，共48分。

三、答題方式

閉卷筆試。

四、考試內容

(一)一元函數微積分學部分，35%(52分)

考試內容：

1、分析引論

函數初等特性;數列、函數極限分析定義;左、右極限;無窮小與無窮大定義;無窮小的比較;極限一般性質、四則運算性質;極限存在判定準則;求極限方法;函數的連續性;間斷點及分類;函數一致連續性及判定法;閉區間上連續函數4條性質;上(下)確界、上(下)極限、聚點概念;實數完備性的7個等價描述。

2、一元函數微分學

導數概念及幾何意義;導數四則、復合、反函數運算法則;隱函數、參量函數求導方法;微分概念及幾何意義;微分四則運算法則;高階導數;高階微分;求導數或微分;Fermat引理;Rolle、Lagrange和Cauchy中值定理;兩種余項形式的Taylor公式;洛必塔法則;函數單調性、凹凸性及判定法;函數極值點、拐點及判定法;曲線漸近線與作圖。

3、一元函數積分學

原函數概念;不定積分及性質;定積分概念;可積性判定準則;可積的充分條件;定積分性質;定積分中值定理;變限積分函數及性質;原函數存在性;微積分學基本定理;換元積分法;分部積分法;不定積分計算法;定積分計算法;定積分在幾何上應用。

考試要求：

1、理解變量極限及連續的概念，會判定極限的存在性，掌握求極限的基本方法，掌握函數一致連續性的論證方法，掌握閉區間上連續函數的基本性質，理解上(下)確界概念，了解實數完備性的等價命題。

2、理解導數和微分的概念，掌握導數與微分、高階導數的計算方法，掌握微分中值定理、Taylor公式及其應用，會用導數判定函數的性態。

3、理解不定積分、定積分的概念，了解可積性判定準則，掌握微積分學基本公式及其應用，掌握定積分的性質和計算方法，會用微元法解決實際問題。

(二)多元函數微積分學部分，35%(53分)

考試內容：

1、多元函數微分學

多元函數概念;重極限與累次極限;重極限存在性判定與求法;多元函數連續性及性質;偏導數、方向導數與全微分概念;一階全微分形式不變性;高階偏導數;二元函數微分中值定理;偏導數計算法;鏈鎖法則;隱函數(組)存在性及求導法;偏導數在幾何上應用;多元函數極值及判定法;條件極值與Lagrang乘數法;多元函數最大(小)值的確定。

2、多元函數積分學

二、三重積分概念與性質;重積分累次積分法、極坐標法、截面積分法、柱面坐標法、球面坐標法、一般變量替換法;兩類曲線積分概念、性質及聯系;兩類曲線積分計算法;Green公式;兩類曲面積分概念、性質及聯系;兩類曲面積分計算法;奧高公式;Stokes公式;平面曲線積分與路徑無關的等價命題;各類積分在幾何上的應用;場論初步(梯度場、散度場、旋度場)。

考試要求：

1、會判定重極限的存在性，理解多元函數連續、偏導數、全微分、方向導數的概念及相互聯系，掌握偏導數的計算方法，掌握微分學在幾何上的應用，掌握多元函數極值的判定法，會用Lagrang乘數法解決實際問題。

2、理解重積分、曲線積分、曲面積分的概念及性質，掌握二重、三重積分的基本計算方法，掌握兩類曲線積分、曲面積分的相互聯系和計算方法，掌握Green公式、奧高公式及其應用，了解Stokes公式及場論。

(三)無窮級數論與反常積分部分，30%(45分)

考試內容：

1、無窮級數論

常數項級數斂散性及性質;正項級數審斂法;任意項級數審斂法;絕對收斂與條件收斂;函數項級數相關概念;函數列(級數)一致收斂性及判別法;函數列(級數)的分析運算性質;冪級數收斂半徑;Abel第一、第二定理;冪級數分析性質;5個重要Maclaurin展開式;Riemann引理;Fourier級數的收斂性定理;Fourier變換;函數展開成冪級數;函數展開成Fourier級數或正弦、余弦級數;級數求和問題。

2、反常積分與含參變量積分

兩類反常積分斂散性及性質;反常積分審斂法;絕對收斂與條件收斂;兩類反常積分的聯系;含參變量積分(反常積分)函數的概念;含參量積分函數的分析性質;含參量變限積分函數的求導法則;含參變量反常積分一致收斂性及判別法;含參量反常積分函數分析運算性質;反常積分(含參變量積分)計算法。

考試要求：

1、理解絕對收斂和條件收斂概念，掌握常數項級數的各種審斂法，理解函數列(級數)一致收斂性概念，掌握一致收斂判別法，掌握函數列(級數)分析運算性質，會將函數展開成冪級數或Fourier級數，掌握冪級數求和方法。

2、理解兩類反常積分斂散性的概念與性質，掌握反常積分的各種審斂法，會計算簡單的反常積分，理解含參變量積分(反常積分)函數的概念及分析性質，掌握含參變量反常積分一致收斂判別法。

五、主要參考書目

(一)歐陽光中等編：《數學分析》(第四版)，高等教育出版社，2018年版。(或歐陽光中等編：《數學分析》(第三版)，高等教育出版社，2007年版。)

(二)劉玉璉等編：《數學分析講義》(第五版)，高等教育出版社，2011年版。

(三)數學分析其它本科通用教材。