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考研數學復習點撥：內功深厚 融會貫通
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數學教研室劉緯宇老師在之前的指導類文章中已經提及并介紹過泰勒公式產生于用簡單的函數代替復雜的函數。現在不妨設f(x)為一個復雜的函數，而f(x0)+ f'(x0)(x-x0)+ f''(x0)/2!(x-x0)^2+...+ f(n)(x0)/n!(x-x0)^n是簡單的函數，其中x0為給定的實數。這時老師雖看不到屏幕前你的表情，但能猜到大概。肯定有人在犯嘀咕：老師， 你不是在忽悠我吧？怎么我的感覺和你說的正好相反——你說的復雜的函數我看起來很簡單，你說的簡單的函數反而看起來很復雜？
這還是老問題，我們看問題要看本質：f(x)涉及到復雜的運算，但卻披著一個簡單的符號表示外 殼；那個長長的函數雖然樣子復雜，但只涉及到了簡單的運算：加法和乘法，人家是多項式！還有小伙伴在疑惑中，真的是多項式嗎？請注意一長串符號中哪些是常 量，哪些是變量：只有x是變量，其余皆為常數。注意到x的最高次數出現在最后一項，為n次，所以我們可以明正言順地給這個“長長的式子”起個名字了——n 次多項式。 請仔細觀察，這兩個函數有什么關系？計算如下幾項即可水落石出：二者在x0的函數值，一階導數 值，二階導數值，......,n階導數值。發現什么了？二者的上述數值均相等。這說明什么？說明了二者在x0的附近函數值非常接近。如果畫出二者圖像， 不難得出二者在x0附近的圖像很接近。現在咱們的數學問題是不是初步得到解決了：復雜的函數在x0附近和簡單的函數——n次多項式近似相等。只是近似相等！數學家仍不滿足，他們有“宜將剩勇追窮寇，不可沽名學霸王”的情懷，于是考慮： 二者到底差多少呢？二者的差值我們稱為余項。余項有兩種形式：帶小o的形式和帶中值的形式，分別稱為皮亞諾余項和拉格朗日余項(我很想寫“張三余項”，可 是張三水平不夠，未作出相應貢獻)。兩種形式的公式能在各自的地盤上一顯身手：前者用來算極限，后者用來證明。 看，泰勒公式已悄然來到我們身邊！下面，我們經典再回首，看看“高大上”的泰勒公式到底為何物。泰勒公式的思想是用簡單的多項式函數表示復雜的函數。二者的差值用余項表示，余項有兩種形式：皮亞諾余項和拉格朗日余項。前者用來算極限，后者用來證明。 聊完了計算極限的高級武器——泰勒公式，我們再看打通線代任督二脈的不二法門——秩。秩可謂穿 越古今中外。在中國古代，有“品秩”一說，表示官員按照俸祿的排序。在現代社會，請大家用秩組個詞？不少同學會想到“秩序”。這個詞也有次序的含義。那么 秩在英文中對應哪個單詞呢？對，rank。rank也有次序，排序之意。總之，秩有級別、排序之意。那么在數學中矩陣的秩，向量組的秩是否也有此意呢？欲 知后事如何，且聽下回分解。(劉緯宇/文) |
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