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華東師大心理統計筆記
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發表于 2010-08-23 18:20
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華東師大心理統計筆記
第一章 緒論 &1.隨機現象與統計學 確定現象 隨機現象 本人性別 生男生女 光的速度 學習成績 種豆得豆 （人的）反應速度 隨機現象：具有以下三個特性的現象稱為隨機現象 （i） 一次試驗有多種可能結果，其所有可能結果是已知的。 （ii） 試驗之前不能預料哪一種結果會出現 （iii） 在相同條件下可以重復試驗 隨機事件：隨機現象的每一種結果叫做一個隨機事件。 隨機變量：把能表示隨機現象各種結果的變量稱為隨機變量 統計學的研究對象是隨機現象規律性隨機變量的分布： (i)正態分布 eg:學習成績 圖（略） (ii)雙峰分布 eg::汽車擁擠程度 圖（略） (iii)另一種分布 eg:如下 圖（略） &2.總體和樣本 總體：是我們所研究的具有某種共同特性的個體的總和 樣本：是從總體中抽取的作為觀察對象的一部分個體。 (i) 總體：有限總體：總體所包含的個體數目有限時 無限總體：總體所包含的個體數目無限時 →參數：總體上的各種數字特征 (ii) 總體→抽樣→ 樣本：大樣本：>30 >50 小樣本：≤30 ≤50（更精神） (樣本容量：樣本中包含的個體數目) →統計量：樣本上的數字特征 根據統計量來估計參數 &3.心理統計學的內容 1． 描述統計： 對已獲得的數據進行整理，概括，顯現其分布特征的統計方法。 集中量 平均數 ＃ 描述 差異量 標準差S: S大：差異大/不穩定 對個別 S小：差異小/穩定 對個別 統計 相關量：相關系數（表示兩件事情的相互關系）r.r∈[-1,1](r表示從無關道完全相 關，相關：正相關，相關，負相關) 2． 推斷統計 參數估計：＃→µ s→σ 推斷 r→р 統計 假設檢驗：參數檢驗 非參數檢驗 3． 實驗設計 ↓ 初級的，用平均數，百分比 ↓ 后來，平均數 → T檢驗（2個對象） 標準差 ↓ 中級的，（2個或2個以上對象）（方差分析）下檢驗。 ↓ 高級的，相關回歸（用相關系數） ↓ 再高級的，（研究生學） 因素分析（探索性的）兩兩相關，寫相關系數 ↓ 更高級的，協方差結構方程（驗證性的） 前程：相同符號的一串→非參數檢驗中的一種 第二章 數據整理 &1.數據種類 一．間斷變量與連續變量 eg:人數 ～ 間斷 二．四種量表。 1．稱名量表。 Eg:307室，學好，電話好嗎 不能進行數學運算（也包括不能大小比較） 2．順序量表。Eg:名次。能力大小，不能運算 3．等距量表。可以運算（做加減法），不能乘除 要求：沒有絕對0 年齡有絕對0 時間（年代，日歷。。。）位移無絕對0，可能有相對0，即有正負 4．等比量表。可做乘除法。 要有絕對零。 成績中的，0分不是絕對0（因為并不說明此人一竅不通） 分數代表的意義。Eg:0~10分 與90～100分。 每一分的“距離”不一樣 因為嚴格來說，成績是順序量表。但為了實際運用中的各種統計，把它作為等距量表 &2.次數分布表 一． 簡單次數分布表 eg: 組別 次數（人次） 100 2 90～99 5 80～89 14 70～79 15 60～69 7 60分以下 3 1． 求全距 R=Max – Min(連續變量) （間斷變量）——R=Max－Min+1 2． 定組數 K(組數)＝1.87(N－1)。。。 →取整 N-總數 3． 定組距 I=R/K。一般，取奇數或5的倍數（此種更多）。 4． 定各組限 5． 求組值 X=(上限＋下限)/2 上限——指最高值加或取10的倍數等） 6． 歸類劃記 7． 登記次數 例題： 99 96 92 90 90 （I） R=99-57+1=43 87 86 84 83 83 82 82 80 79 78 (II)K=1.87(50-1)。。。≈9 78 78 78 77 77 77 76 76 76 76 75 75 74 74 73 (III)I=R/K =43/9≈5 72 72 72 71 71 71 70 70 69 69 68 67 67 67 65 (iu)組別 組值 次數 64 62 62 61 57 95~99 97 2 90~94 92 3 85~89 87 2 80～84 82 6 75～79 77 14 70～74 72 11 65～69 67 7 60～64 62 4 55～59 57 1 總和 50 二． 相對（比值）次數分布表。 累積次數分布表 相對（比值）累積次數：累積次數值/總數N 注：一般避免不等距組（“以上”“以下”稱為開口組） 相對次數 累積次數（此處意為“每組上限以下的人次）”小于制“ .04 50 .06 48 .04 45 .12 43 .28 37 .22 23 .14 12 .08 5 .02 1 1.00 &3.次數分布圖 一．直方圖 1． 標出橫軸，縱軸（5：3）標刻度 2． 直方圖的寬度（一個或半個組距） 3． 編號，題目 4． 必要時，頂端標數） 圖 二．次數多邊圖 1． 畫點，組距正中 2． 連接各點 3． 向下延伸到左右各自一個組距的中央 最大值即y軸最大值 相對次數分布圖，只需將縱坐標改為比率。（累積次數，累積百分比 也同樣改縱坐標即可）”S形”曲線是正態分布圖的累積次數分布圖 圖（略） 第三章 常用統計量數 &1.集中量 一．算術平均數 公式 算術平均數的優缺點。P36~37 算術平均數的特征。Σ（X-#）=0 離（均數）差 Σ（X-#）（X-#）取#時，得最小值 即：離差平方和是一最小值 二．幾何平均數 ＃g= 略 long#g=1/NσlogXi 根據按一定比例變化時，多用幾何平均數 eg: 91年 92 93 94 95 96 12％ 10％ 11％ 9％ 9％ 8% 求平均增長率 xg= 加權平均數 甲：600人 #=70分 乙：100人 #=80分 加權平均數：＃=(70*600+80*100)/(600+100) (總平均數)eg:600人，100人 簡單平均數：（70＋80）/2 三．中（位）數。(Md) 1.原始數據計算法 分：奇、偶。 2．頻數分布表計算法（不要求） 3．優點，缺點，適用情況（p42） 四．眾數（Ｍo） 1．理論眾數 粗略眾數 2．計算方法：Mo=3Md-2# Mo=Lmo+fa/(fa+fb)*I 計算不要求 3．優缺點 平均數，中位數，眾數三者關系。 &2.差異量數 一．全距 R=Max-Min 二．平均差（MD或AD） MD={Σ|x-#(或Md)|}/N 三．方差 總體方差的估計值 S2 =Σ（X － #）2 反編 樣本的方差：σ2 x有編 N很小時，用S2 估計總體 N>30時，用S2 或σ2 x 都可以 計算方法：σ2 x＝Σx2 /N － (ΣX/N) 2 標準差σx＝σ2 x2/1 四．差異系數（CV） CV=σx/# *100% CV∈[5%,35%] 3個用途 五．偏態量與鋒態量（SK） 1.偏態量：sk=(#-Mo)/σx 動差（一級~四級） a3= Σ(x-#)3 、 / N/σx3 三級動差計算偏態系數） 2．峰態量：高狹峰 a4>0 (a4=0 ——正態峰) 低調峰。A4<0 用四級動差 a4=Σ(X - #)4/N/σx4－3 &3.地位量數 一．百分位數 eg  30=60(分) “60分以下的還有30%的人”二．百分等級 30→60（在30％的人的位置上，相應分數為60） So→Md 第四章 概率與分布 &1．概率 一．概率的定義 W(A)=m/n (頻率/相對頻數) 后驗概率： P(A)=lim m/n 先驗概率：不用做試驗的 二．概率的性質和運算 1．性質：o≤P≤1 p=1 必然可能事件 p=0 不可能事件 2．加法。 P(a+b)=P(a)+P(b) “或”：兩互不相克事件和。 推廣：“有限個” P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An) eg:（1）A=出現點數不超過4（x≤4） P(A)=P(x=1)+P(x=2)+P(x=3)+P(x=4)=1/6+…1/6=4/6=2/3 (2)完全憑猜測做判斷題，（共2道），做對1題的概率為： A={T.Ti B={F.Ti C={T.Fi D={F.Fi P=P(B)+P(C)=1/4+1/4=0.5 3.乘法： P(A1,A2…An)=P(A1),P(A2)…P(An) Eg  1)四選1。（十道）完全憑猜測得滿分得概率：(1/4)*(1/4)…*(1/4)=1/410&2.二項分布 一．二項分布 P(x)=Cnxpxgn-x 做對的概率 px ：做錯的概率 gn-x ：X:對的數量pxgn-x ——每一種 分情況的概率。一種情況：pxgn-x 再乘上系數。 Eg:產品合格率為90％ 取n=3（個） TTT的情況 90 * 90*90=P3 0.729 TFT 90*0.10*90=P2g1 0.081 兩個合格的情況→ TTF FTT 其概率 C32P2g1=3p2g1. Cn0P0gn+CnP1gn-1+…+CnPng0=1 注：二項分布可能的結果只有兩種。F 0r T 合格 Or 不合格 選對 Or 選錯 例：（1）10道是非題，憑猜測答對5，6，7，8，9，10題的概率？至少答對5題的概率？ P(x=5)＝C510P5g5=C510(1/2)51/2)5=.24609 P(x=6)=C610P6g4=C610(1/2)6(1/2)4=.20508 P(x=7)=C710P7g3=C710(1/2)7(1/2)3=.11719 =.04395 =.00977 +P(x=10)=C1010P10g0=(1/2)10 =.000098 至少答對5題：P(X≥5) = 0.62306 (2)四選一，猜中8，9，10題的概率？ P(x=8)=C819P8g2=C819(1/4)8(3/4)2=.0039 二．二項分布圖（P84~85） 三．二項分布的平均數與標準差（前提np≥5且ng≥5） 平均數——M=np 標準差——r=npg1/2 &3.正態分布 一．正態分布曲線 二．標準正態分布。（P387附表可查面積P） Z=(x-ц)/r (x:原始分數) 標準分數（有正有負） ΣZ=0 三．正態分布表的使用 查表 P(0≤Z≤1)=0.34134——Z的范圍中的人數比例（百分數） P(0≤Z≤1.645)=0.4500 1.64 － .44950=0.45 1.65 － .45053=0.45 之上，標準分數高于2個標準差，則非常聰明。 Eg:1. μ=70(分) σ＝10 P(70≤x≤80)=p(o≤z≤1) P(60≤x≤70)=P(-1≤z≤0) 2.μ P(0≤z≤1)=P(μ≤x≤μ+σ) P(-1≤z≤0)=P(μ-σ≤x≤μ) 圖（略） 例：某地區高考，物理成績 μ＝57。08（分） σ＝18。04（分） 總共47000人。 （1）成績在90分以上多少人？ （2）成績在（80，90）多少人？ （3）成績在60分以下多少人？ 解: X~N(57.08,18.042) —— 參數（μ,σ2） Normal 表示符合正態分布 令Z= (x-57.08)/18.04） ,則Z~N(0,12)標準分數平均數一定為0，標準差一定為1。 （1）Z1=(90－57。08)/18.04=1.82 P(Z>1.82)=.0344 N1=np=47000*0.0344=1616(人) (2)Zz=(80-57.08)/18.04=1.27 P(1.27<Z<1,82)=.46562-.39796=0.677 N2=NP=3177(人) （3）Z3=(60-57.08)/18.04=0.16 P(Z<0.16)=.56356 N3=26487(人) 四．正態分布的應用 T=KZ+C T~N(C,K2) IQ=15Z+100 IQ=100 一般 IQ≥130 ——超常 (30=2x*15) IQ<70 —— 弱智 70幾 ——bndenline eg:1.某市參加一考試2800人，錄取150人，平均分數75分，標準差為8。問錄取分數定為多少分？ 解： X~N(75.82) Z=(x-#)/σx=(x-15)/8 ～N(0,12) P=150/2800=0.053 0.5-0.053=0.447 Z=1.615 X=1.615*8+75≈88(分) 2．某高考，平均500分，標準差100分，一考生650分，設當年錄取10％，問該生是否到錄取分？ 解： Zo=(650-500)/100=1.5 (X～N(500,1002)(Z～N(0,12) Po=0.5-0.43319=0.06681=6.681%<10% 所以可錄取。 第五章 抽樣分布（概率P） &1.抽樣方法 一． 簡單隨機抽樣 二． 等距抽樣 三． 分層抽樣 四． 整群抽樣 五． 有意抽樣 &2.抽樣分布 （1） （2） （3） （4） （5） 20 25 30 35 40 （1） ＃＝20 22.5 25 27.5 30 （2） 22.5 25 27.5 30 32.5 （3） 25 27.5 30 32.5 35 （4） 27.5 30 32.5 35 37.5 （5） 30 32.5 35 37.5 40 總體分布 圖 抽樣分布 圖 一．平均數 E(#)=µ 二。標準差，方差。 σx=σ/n1/2 σ#2=σ2/n &3.樣本均值（#）的抽樣分布 一．總體方差σ2已知時，＃的抽樣分布 1．正態總體，σ2 已知時，＃的抽樣分布 設（X1,X2,…Xn）為抽自正態總體X~N(μ, σ2 ) 的一個簡單隨機樣本，則其樣本均值＃也是一個正態分布的隨機變量，且有： E(#)=μ, σx2 =σ2 /n 即＃～N(μ, σ2 /n) Z=(#-μ)σ/n1/2 Eg:一次測驗，μ=100 σ＝5 從該總體中抽樣一個容量為25的簡單隨機樣本，求這一樣本均值間于99到101的概率？ 解： 已知X～N(100,52) n=25. 則＃～N(100,12) Z=(#-100)/1 ～ N(0,1) 當#=99時，Z=-1 當#=101時，Z=1 所以P(99≤#≤101) =P(-1≤Z≤1)=.68268 2.非正態總體，σ2已知時，#的抽樣分布 設（X1,X2,…Xn）是抽自非正態總體的一個簡單1隨機樣本。當n≥30時，其樣本均值＃ 接近正態分布，且有： E(#)=μ, σx2 =σ2 /n 即#～N(μ, σ2 /n) 若是小樣本，題目無解。 Eg(1)一種燈具，平均壽命5000小時，標準差為400小時（無限總體）從產品中抽取100盞燈， 問它們的平均壽命不低于4900小時的概率。 解：已知：μ＝5000，σ＝400，n=100>30是大樣本 所以＃近似正態分布 ＃～N(5000,402) 當＃＝4900時，Z=(4900-5000)/400/1001/2=-2.5 P(#≥4900)=P(Z≥-2.5)=0.99379 3.有限總體的修正系數 （引出）（2）同上題，從2000（有限總體）盞中不放回地抽取100盞，問。。。。。 （概念）設總體是有限的總體，其均值為μ，方差為σ2 （X1,X2…Xn）是以不放回形式從該總 體抽取的一個簡單隨機樣本。則樣本均值＃的數學期望（E(#)）與方差為 E(#)=μ#=μ 和σ2 ＝（N-n）/(N-1)*( σ2 /n) N→∞時，修正系數不計。 σ＝[（N-n）/(N-1)*( σ2 /n)]1/2 .n/N≥0.05%,要用修正系數 如題（2），n/N＝0.05 所以要用修正系數 所以解題2：σx2 ＝（N-n）/(N-1) *( σ2 /n)＝2000－100）/2000-1=4002 /100=1520 σ#=15201/2 =38.987 Z=(4900-5000)/38.987= -2.565 P(Z≥-2.565)=.9949 二．總體方差σ2 未知時，樣本均值＃的抽樣分布。 用S2(總體方差的估計值)代替 σ2 t=(x-μ)/s/n1/2 ～tn-1→dp(自由度)=n-1 設（X1,X2,…Xn） 為抽自正態總體的一個容量為n的簡單隨機樣本，即t=(x-μ)/s/n1/2符合自由度為n-1的t分布 當總體為非正態分布，且σ2 未知。 則樣本 小：無解 大：接近七分布 t≈ t=(x-μ)/s/n1/2 ～ tn-1 Z≈ t=(x-μ)/s/n1/2 ~ N(0,1)(也可用Z) 總體均值為80，非正態分布，方差未知，從該總體中抽一容量為64的樣本，得S=2,問樣本均值大 于80.5得概率是多少？ 解：因為64>30 是大樣本 P(#>80.5)=P(t>(x-μ)/s/n1/2 )=P(t>2) df=63 P≈0.025 若用Z，P(Z>z) ≈0.02275 (若N24，總體正態，則Z分布1不能用，只能用七分布) 非正態總體：小樣本——無解 大樣本——Z≈(x-μ)/σ/n1/2 σ2 已知 正態總體 Z=≈(x-μ)/σ/n1/2 非正態總體：小樣本 —— 無解 σ2 未知： 大樣本——t≈(x-μ)/σ/n1/2 ≈Z 正態總體：小樣本——t=(x-μ)/σ/n1/2 大樣本——Z≈t=(x-μ)/σ/n1/2 &3.兩個樣本均值之差（#1-#2）的抽樣分布 若＃1是獨立地抽自總體X1～N(μ1,σ2 )的一個容量為n,的簡單隨機樣本的均值； ＃是。。。X2～N(μ2, σ22 )的。。。n2.的。。。則兩樣本均值之差(#1－#2)～N(μ1-μ2,σ12/n1,σ22/n2) 復雜計算 一種鋼絲的拉強度，服從正態分布 總體均值為80，總體標準差6，抽取容量為36的簡單隨機樣本，求樣本均值∈[79，81]的概率 X~N(80,62) Z~N(0,12) Z=(x-μ)/6/361/2 =(x-8)/1 x∈[79,8081] Z ∈[-1,1] P=.68268 若σ不知。S=b，則 X～(80, σ2 ) 用公式t=(# -μ)/s/n1/2 ~ tn-1 =t35 某種零件平均長度0.50cm,標準差0.04cm,從該總零件中隨機抽16個，問此16個零件的平均長度小 于0.49cm的概率無解。 抽100個，則概率？ Z≈(x-μ)/σ/n1/2 =(# - 0.50)/0.004 #<0.49 P(Z<-0.01/0.004) =P(Z<-2.5)=.49379= 從500件產品中不放回地抽25件。 25/500=0.05 要修正系數（N-n）/(N-1)≈.95 某校一教師采用一種他認為有效的方法，一年后，從該師班中隨機抽取9名學生的成績，平均分 84.5分，S=3。而全年級總平均分為82分，試問這9名學生的＃<84.5分的概率為多大？ #～N(82, σ2 ) t～t8 t=(# -μ)/s/n1/2 =84.5-82)/3/3=2.5 df=8 0.975≤P(t<2.5) 說明方法有效 （S=3是σ的估計值，兩組數據都很整齊。圖（略） &4.有關樣本方差的抽樣分布 一．f2分布 1．f2 分布的密度函數 f(x)=1/2n/2*r*n/2)* e-x/2*xn/2-1 (x>0) f(x)=0 (x≤0) 圖（略） 2.定理： 設（X1,X2,X3…Xn）為抽自正態總體 X～N(μ,σ2 )的一個容量為n的簡單隨機樣本， 則#=∑(X-#)2/n-1為相互獨立的隨機變量，且＃~N(μ, σ2 /n) ∑(X-#)2 /σ2 =（n-1）S2 /σ2 ~X2n-1(I=1,2,…n) 若抽自非正態總體：小樣本 —— 無解 大樣本 —— X2≈(（n-1）S2 /σ2 二．F分布 1．F分布的密度函數 f(x)= [(n1+n2)/2]/(n1/2)(n2/2) (n1/n2)(n1/n2*X)n1/2-1(1+n1/n2*X)-n1+n2/2 (x≥0) f(x)=0 (x<0) 2.定理 設(X1,X2,…Xn)為抽自X～N(μ1, σ2 1)的一個容量為n1的簡單~(y1,y2…yn)為抽自正態總體 y～N(μ2, σ2 2)的一個容量n2的簡單～，則： 當σ2 1=σ2 2時， F=S21/S22~F(n1-1,n2-1) n1~分子自由度 n2～分母自由度 第六章 參數估計（置信水平下的區間估計） &1.點估計 E(X)(即＃)=∑x/N→μ （拿一個點來估計參數） D(X)= ∑(x-#)2 /N-1→σ2 &2.總體均值的區間估計 一．總體均值的區間估計，σ2 已知。 正態總體 x~N (μ, σ2 ) #~N((μ, r2/n) Z=(# -μ)/ σ/n1/2 1． 某種零件的長度符合正態分布。σ＝1.5，從總體中抽200個作 為樣本，＃＝8.8cm，試估計在 2． 95％的置信水平下，全部零件平均長的置信區間。 解： 已知X~N(μ,1.52 ) n=200, #=8.8 1-a=0.95 →a-0.05 Z0.025=1.96 P(#-Za/2σ/n1/2 <μ<#+Za/2 n1/2 =P(8.59<μ<9.01)=0.95 10%>5% 若不放回地從2000個（總體）中抽出200個。——需修正系數 所以用(N-n)/(n-1)1/2 P(# +- 1.96*σ/n1/2 *(N-n)/(n-1)1/2 =0.95=P(8.60,9.00) 二 σ2 未知 P(#-t(a/2,n01)S/ n1/2 <μ<#+t(a/2,n-1) S/ n1/2 )=1-a 為了制定高中學生體鍛標準，在某區隨機抽36名男生測100米，36名學生平均成績13.5 秒，S=1.1秒，試估計在95％地置信水平下，高中男生100米跑成績的置信區間。 P(# + - 2.03* S/ n1/2 )=P(13.5+- 2.03*1.1/361/2 )=9.5 (13.5+-0.37) 即（13.13,13.87） 得(13.14,13.86) |
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